Окно в бесконечность

Много столетий назад математики поняли, что с бесконечностями можно уверенно работать и извлекать из этой абстракции пользу. Бесконечные множества, бесконечно большие величины, а также бесконечно малые — всё имеет смысл. Многие их свойства трудны для понимания, появление теорий о бесконечных величинах всегда вызывало споры; но ведь и многие факты о конечных сущностях столь же контринтуитивны. То, что Докинз называет «аргументом, основанном на личном недоверии», — не аргумент: это всё равно что предпочитать парохиальные заблуждения универсальным истинам.


С античных времён над бесконечностью размышляли и в физике. Евклидово пространство было бесконечным; так или иначе, пространство обычно рассматривалось как континуум: даже конечный отрезок состоял из бесконечного множества точек. Между двумя произвольными моментами времени также было бесконечно много моментов. Но до изобретения Ньютоном и Лейбницем дифференциального исчисления, метода анализа непрерывных изменений в терминах бесконечного числа бесконечно малых изменений, представление о непрерывных величинах было обрывочно и противоречиво.
«Начала бесконечности» — возможность неограниченного роста знания в будущем — зависят от ряда других бесконечностей. Одна из них — универсальность законов природы, позволяющая применять конечные, локальные символы ко всему времени и пространству, а также ко всем известным и всем возможным явлениям. Другое понятие — существование физических объектов, являющихся универсальными объяснителями, — людей, — которые, как оказывается, обязательно являются и универсальными конструкторами, и должны содержать в себе универсальные классические компьютеры.
Многие формы универсальности сами по себе ссылаются на бесконечность некоторого вида, хотя их всегда можно трактовать как нечто неограниченное, а не актуально бесконечное. Противники бесконечности называют это «потенциальной бесконечностью», в отличие от «реализованной»[44]. Например, начало бесконечности можно описать либо как условие, при котором «прогресс в будущем будет неограничен», либо как условие, при котором «будет достигнут бесконечный по масштабу прогресс». Но я использую эти понятия взаимозаменяемо, потому что в данном контексте между ними нет содержательной разницы.
В философии математики существует направление, называемое финитизмом, в котором утверждается, что существуют только конечные абстрактные сущности. Так, например, натуральных чисел бесконечно много, но финитисты настаивают на том, что это просто фигура речи. По их словам, в действительности существует лишь конечное правило для образования каждого натурального числа (или, точнее говоря, его записи) из предыдущего, а ничего реально бесконечного тут нет. Но это учение сталкивается со следующей проблемой: есть ли в ряду натуральных чисел наибольшее? Если есть, то это противоречит существованию правила, позволяющего построить ещё большее число. Если нет, то неверно, что количество натуральных чисел конечно. И здесь финитистам приходится отрицать логический принцип, называемый «законом исключённого третьего», который гласит, что для каждого содержательного утверждения верно либо оно, либо его отрицание. Согласно финитистам получается, что, хотя среди натуральных чисел нет наибольшего, их всё равно не бесконечно много.
Финитизм — это инструментализм применительно к математике: это принципиальное неприятие объяснения. Он пытается рассматривать математические сущности только как процедуры, которым следуют математики, правила для написания значков на бумаге и так далее — и иногда это полезно, но связи с реальностью в этом нет, разве что с конечными объектами из опыта, такими как два яблока или три апельсина. Поэтому финитизм по сути своей антропоцентричен, что неудивительно, так как согласно ему ограниченность есть достоинство теории, а не наоборот. У финитизма есть и ещё один роковой недостаток, который привносят в науку инструментализм и эмпиризм: допущение, что у математиков есть своего рода привилегированный доступ к конечным сущностям, а к бесконечным — нет. Но это не так. Все наблюдения нагружены теорией. Любые абстрактные теоретические рассуждения — тоже. Добраться до абстрактных сущностей, конечных или бесконечных, как и до физических сущностей, можно только через теорию.
Другими словами, финитизм, как и инструментализм, — это не что иное, как план, цель которого помешать достижению прогресса в понимании сущностей, выходящих за рамки непосредственного опыта. А значит, и достижению прогресса вообще, ведь, как я объяснил, в рамках нашего «непосредственного опыта» сущностей нет.
Всё вышеприведённое обсуждение предполагает универсальность разума. Сфера досягаемости науки имеет неотъемлемые ограничения; это относится и к математике, и к любому направлению философии. Но если вы считаете, что существуют границы той области, в которой разум есть должный судья идей, значит, вы верите в иррациональное или в сверхъестественное. Аналогично, если вы отрицаете бесконечное, то вы застряли в конечном, а конечно парохиально. Здесь нельзя остановиться посередине. Самое разумное объяснение чего бы то ни было в конечном счёте включает в себя универсальность, а значит, и бесконечность. Сферу объяснимого нельзя взять и ограничить в приказном порядке.
Одним из проявлений этого в математике стал принцип, впервые явно сформулированный в девятнадцатом веке математиком Георгом Кантором, согласно которому абстрактные сущности можно определить любым желаемым способом через другие сущности при условии, что определения однозначны и непротиворечивы. Кантор заложил основы современного математического исследования бесконечности. В двадцатом веке его принцип отстаивал и обобщал математик Джон Конуэй, который дал ему эксцентричное, но вполне подходящее название — движение за освобождение математиков. Согласно Конуэю, открытия Кантора встретили резкое неприятие со стороны современников, включая большинство математиков того времени и также многих учёных, философов — и богословов. Как это ни парадоксально, религиозные возражения по сути строились на принципе заурядности. Попытки понять бесконечность и работать с ней в них характеризовались как посягательство на прерогативу Бога. В середине двадцатого века, через много лет после того, как исследования в области бесконечности стали обычным для математики делом и нашли в ней бесчисленное множество приложений, философ Людвиг Витгенштейн всё ещё презрительно осуждал их за «бессмысленность». (Правда, в конечном итоге он предъявил это обвинение и философии в целом, включая свою собственную работу, см. главу 12.)
Я уже упоминал другие примеры принципиального неприятия бесконечности. Необъяснимую антипатию к универсальным системам записи чисел выражали Архимед, Аполлоний и другие. Существуют такие учения, как инструментализм и финитизм. Принцип заурядности начинает с того, чтобы уйти от ограниченности взглядов и добраться до бесконечности, но в итоге загоняет науку в бесконечно малый, непредставительный пузырь постижимости. Есть ещё пессимизм, который (как будет показано в следующей главе) стремится объяснить неудачи существованием конечной границы совершенствования. Один из примеров пессимизма — парадоксальная парохиальность сравнения Земли со звездолётом — транспортным средством, которое гораздо лучше подошло бы в качестве метафоры бесконечности.
Всякий раз обращаясь к бесконечности, мы опираемся на бесконечную сферу применимости какой-либо идеи. Всегда, когда идея бесконечности имеет смысл, это связано с тем, что существует объяснение, каким образом некий конечный набор правил для манипулирования конечными символами ссылается на нечто бесконечное. (Повторю, что это также лежит в основе всех остальных наших знаний.)
В математике бесконечность изучается посредством бесконечных множеств (то есть множеств с бесконечным числом элементов). Определяющее свойство бесконечного множества заключается в том, что некоторая его часть содержит столько же элементов, сколько всё оно в целом. Возьмём, например, натуральные числа:

В верхней строке на рисунке каждое натуральное число встречается ровно один раз. В нижней строке содержится только часть этого множества: натуральные числа, начиная с 2. Чтобы показать, что в этих двух множествах одинаковое число элементов, на рисунке между ними установлено соответствие, которое математики называют «взаимно однозначным».
Чтобы проиллюстрировать некоторые интуитивные вещи, от которых приходится отказаться, рассуждая о бесконечности, математик Давид Гильберт придумал мысленный эксперимент. Он представил себе гостиницу с бесконечным числом номеров: отель «Бесконечность». Номера пронумерованы с помощью натуральных чисел, начиная с 1 и заканчивая… Чем же?
Число на двери последнего номера отеля — не бесконечность. Во-первых, последнего номера вообще нет. Мысль о том, что в любом пронумерованном множестве гостиничных номеров есть элемент с наибольшим числом на двери, — это первое интуитивное представление из повседневной жизни, которое придётся отбросить. Во-вторых, в любой конечной гостинице, в которой номера пронумерованы от 1, будет один под номером, равным общему их числу, а также другие с близкими номерами: если бы номеров было десять, на двери одного из них стояло бы десять, а среди остальных был бы номер девять. Но в отеле «Бесконечность», в котором число номеров бесконечно, порядковые номера их всех бесконечно далеки от бесконечности.

Теперь представьте, что отель заполнен. В каждом номере может жить один и только один человек. Когда «заполнена» конечная гостиница, это всё равно что «свободных мест нет». Но в отеле «Бесконечность» место найдётся всегда. Одно из условий пребывания в нём — постояльцам придётся сменить номер, когда администратор их об этом попросит. По прибытии нового гостя по системе оповещения проходит сообщение: «Просим всех постояльцев немедленно переехать в номер, на двери которого число на единицу больше, чем на двери занимаемого вами сейчас номера». Таким образом, по схеме, представленной на первом в этой главе рисунке, тот, кто жил в номере 1, переезжает в номер 2, а тот, кто жил в номере 2, — в номер 3 и так далее. Что же происходит в последнем номере? Но ведь последнего нет, и такого вопроса просто не возникает. Вновь прибывший заселяется в номер 1. Бронировать место в отеле «Бесконечность» не нужно.
Очевидно, в нашей Вселенной не может быть такого места, как отель «Бесконечность», поскольку в нём нарушается несколько законов физики. Однако это математический мысленный эксперимент, поэтому единственное ограничение на воображаемые законы физики — их непротиворечивость. И из-за этого требования непротиворечивости они контринтуитивны: в интуитивных вещах, касающихся бесконечности, часто отсутствует логика.
Переезжать таким образом немного неудобно, хотя все номера одинаковые, и их убирают перед заселением нового постояльца. Но людям нравится останавливаться в «Бесконечности». Дело в том, что отель недорогой, всего доллар за ночь, но при этом невероятно роскошный. Как это удаётся? Каждый день, собрав по доллару за комнату, администратор распределяет доход следующим образом. Деньги, полученные от жильцов из номеров 1–1000, идут на шампанское и клубнику для постояльцев, на оплату услуг горничных и остальные расходы, но только для номера 1. На деньги, полученные от жильцов из номеров 1001–2000, оплачивается всё то же самое для номера 2 и так далее. Таким образом, на каждый номер каждый день приходится товаров и услуг на сумму в несколько сотен долларов, но при этом удаётся получить и прибыль, и всё из расчёта одного доллара за сутки.
Слава отеля ширится, и однажды на местную станцию приезжает бесконечно длинный поезд с бесконечным числом пассажиров, которые хотели бы остановиться в отеле. На бесконечно много оповещений по системе громкой связи ушло бы слишком много времени (к тому же по гостиничным правилам каждого постояльца можно просить совершить то или иное действие лишь конечное число раз в день), но это не важно. Администратор просто сообщает: «Просим всех постояльцев немедленно переехать в номер с числом на двери в два раза больше, чем число на двери вашего нынешнего номера». Очевидно, что это не составит труда, и в итоге занятыми окажутся только чётные номера, а в нечётные можно будет заселять вновь прибывших. Этого как раз хватит, чтобы принять бесконечно много новых постояльцев, потому что нечётных чисел ровно столько же, сколько натуральных, что иллюстрируется следующим рисунком:

Таким образом, первый вновь прибывший селится в номер 1, второй — в номер 3 и так далее.
Затем в один прекрасный день на ту же станцию прибывает бесконечное число бесконечно длинных поездов, целиком забитых желающими остановиться в отеле. Но администраторов это не пугает. Они просто немного усложняют объявление, с которым читатели, разбирающиеся в математической терминологии, могут ознакомиться в сноске[45]. В итоге номеров хватает всем.
Однако переполнить отель «Бесконечность» математически возможно. В 1870-е годы Кантор сделал ряд замечательных открытий и среди прочего доказал, что не все бесконечности равны. В частности, бесконечность континуума — число точек на отрезке (которое равно числу точек во всём пространстве или в пространстве-времени) — гораздо больше, чем бесконечность натуральных чисел. Для доказательства этого факта Кантор продемонстрировал, что не существует взаимно однозначного соответствия между натуральными числами и точками отрезка: у этого множества точек порядок бесконечности выше, чем у множества натуральных чисел.
Вот один из вариантов его доказательства, основанное на так называемом диагональном методе. Представьте себе колоду карт: её толщина — один сантиметр, а карты такие тонкие, что на каждое «действительное число» сантиметров между 0 и 1 приходится по карте. Действительные числа можно определить как десятичные дроби, лежащие в этих пределах, например, 0,7071…, где многоточие означает, что дальше знаков может быть бесконечно много. Тогда невозможно раздать эту колоду по одной карте в каждый номер отеля «Бесконечность». Предположим, что колоду всё же удалось распределить таким образом, и докажем, что это приводит к противоречию. Каждому номеру должна соответствовать карта, как, например, в таблице ниже. (Конкретные числа в ней не играют роли, поскольку мы доказываем, что действительные числа нельзя распределить по натуральным ни в каком порядке.)

Обратим внимание на бесконечную последовательность цифр, выделенных полужирным шрифтом — 6996…. А теперь рассмотрим десятичное число, построенное следующим образом: оно начинается с нуля, затем идёт десятичная запятая, а затем произвольные цифры с тем лишь исключением, что каждая из них должна отличаться от соответствующей по номеру цифры в бесконечной последовательности 6996…. Например, можно выбрать такое число: 0,5885…. Карта с построенным таким образом номером не могла попасть ни в один номер в отеле, потому что первой цифрой она отличается от карты, отправленной в номер 1, второй — от карты, попавшей в номер 2, и так далее. Таким образом, она отличается от всех карт, присвоенных номерам в отеле, что противоречит исходному предположению о том, что распределены были все карты.
Бесконечность, размеры которой позволяют поставить её во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами, называется счётной — термин достаточно неудачный, потому что в реальности досчитать до бесконечности никто не сможет. Но он подразумевает, что в принципе до каждого элемента счётного бесконечного множества можно дойти, если считать элементы в некотором подходящем порядке. Бесконечности большего размера называются несчётными. Таким образом, между любыми двумя отдельными точками содержится несчётное бесконечное множество действительных чисел. Более того, существует несчётное множество порядков бесконечности, каждый из которых слишком велик, чтобы его можно было поставить во взаимно однозначное соответствие с более низкими порядками.
Ещё одно важное несчётное множество — множество всех логически возможных перераспределений постояльцев по номерам в отеле «Бесконечность» (или, как говорят математики, множество всех возможных перестановок натуральных чисел). Это можно легко показать, если взять любое перераспределение, заданное бесконечно длинной таблицей, например, такой.

Теперь представим, что все возможные перераспределения идут списком друг под другом, так что мы можем подсчитать количество строк. Если применить к этому списку диагональный метод, то окажется, что такой список невозможен, а значит, множество всех возможных перераспределений несчётно.
Поскольку администраторам отеля «Бесконечность» приходится задавать перераспределение в виде публичного объявления, оно должно состоять из конечной последовательности слов, то есть конечной последовательности символов из какого-либо алфавита. Множество таких последовательностей счётно, поэтому оно бесконечно меньше, чем множество возможных перераспределений. А значит, задать можно только бесконечно малую часть всех логически возможных перераспределений. Это замечательное в своём роде ограничение очевидно неограниченных возможностей администраторов отеля «Бесконечность» по перетасовке постояльцев! Получается, что почти все способы, которыми на уровне логики можно было бы перераспределить людей по номерам, недоступны.
В отеле «Бесконечность» — уникальная, самодостаточная система сбора отходов и избавления от них. Каждый день постояльцев сначала перераспределяют так, чтобы все комнаты были заняты. Затем даётся следующее объявление: «Просим всех в течение следующей минуты собрать мусор в мешок и передать его жильцу из следующего по порядку номера. Если в течение этой минуты вы получите мешок, за следующие 30 секунд передайте его дальше. Если за эти 30 секунд вы получите мешок, передайте его дальше в течение следующих 15 секунд и так далее». Чтобы выполнить такую просьбу, постояльцам нужно делать всё быстро, но передавать мешки бесконечно быстро никому не придётся, как не придётся иметь дело и с бесконечно большим числом мешков. Каждый человек произведёт конечное число действий, как и предписывают правила отеля. Всякая передача мусора прекратится уже через две минуты. Таким образом, по истечении этого времени ни у кого из постояльцев мусора не останется.

Весь собранный в отеле мусор из Вселенной исчезает. Исчезает в никуда. Но никто его в это «никуда» не транспортирует: каждый постоялец просто передаёт часть мусора в другой номер. Это «никуда», в которое исчез весь мусор, в физике называется сингулярностью. Сингулярности встречаются и в реальной жизни — в чёрных дырах и кое-где ещё. Но не будем отвлекаться: сейчас мы говорим о математике, а не о физике.
В отеле «Бесконечность», безусловно, бесконечно много персонала. Каждым постояльцем должны заниматься несколько служащих. Они приравниваются к постояльцам отеля, они также живут в пронумерованных комнатах и получают те же услуги, что и всякий другой постоялец, включая приписанных к ним служащих. В то же время они не могут просить этих служащих выполнять работу за себя, ведь, если все они сделают это, отель просто перестанет работать. В бесконечности нет ничего магического. В ней установлены логические правила: в этом и есть вся суть мысленного эксперимента с отелем «Бесконечность».
Порочная идея возможности переложить свою работу на других служащих из комнат с бóльшими номерами называется бесконечным регрессом. И это одна из тех вещей, которые на законных основаниях с бесконечностью делать нельзя. Есть старая шутка об одном любителе каверзных вопросов, который на лекции по астрофизике перебил лектора, чтобы настоять на том, что Земля плоская и стоит на слонах, которые в свою очередь стоят на огромной черепахе. «А на чём стоит черепаха?» — спросил его лектор. «На другой черепахе». — «А она на чём?» «Вы меня не проведёте, — торжествующе заявил слушатель. — Там и дальше стоят черепахи — друг на друге». Эта теория плохо объясняет явление, но не потому, что она не может объяснить всё (это не под силу ни одной теории), а потому, что необъяснённым остаётся по сути как раз то, что первоначально предполагалось объяснить. (Другим примером бесконечного регресса может служить теория о том, что того, кто задумал биосферу, тоже кто-то задумал, и так до бесконечности.)

Однажды в отеле «Бесконечность» в мешок с мусором залезает щенок одного из постояльцев. Хозяин этого не замечает и передаёт мешок с щенком в следующий номер.
Через две минуты щенок пропадает в никуда. Его хозяин в панике звонит администратору. Тот по системе оповещения объявляет: «Приносим свои извинения. В один из мешков с мусором случайно попал ценный предмет. Просим всех постояльцев проделать действия по удалению мусора в обратном порядке, как только вы получите мешок из номера, следующего по порядку за вашим».
Но всё бесполезно. Никто мешки не возвращает, потому что соседи из следующих по порядку номеров тоже ничего не возвращают. Мешки действительно уходят в никуда, это было не преувеличение. Их не складывали в вымышленном «номере бесконечность». Их больше нет, и щенка тоже нет. Никто ему ничего не сделал, его просто передавали из номера в номер. Но ни в одном номере его нет. Его нет нигде в отеле и вообще нигде. Если в конечной гостинице перемещать предмет из одного номера в другой в любой сложной последовательности, в итоге он окажется в каком-нибудь из них. Но когда номеров бесконечно много, это не так. Каждое отдельное действие каждого постояльца было безвредно для щенка и абсолютно обратимо. Но все они вместе привели к его исчезновению, и вернуть ничего уже нельзя.
Обращение действий не поможет, потому что — если бы оно сработало — нельзя было бы объяснить, почему в номер хозяина передали именно щенка, а не котёнка. Конечно, если щенок возвратился, это можно объяснить тем, что его передали из следующего по порядку номера и так далее. Но вся эта бесконечная последовательность объяснений никогда не сможет объяснить, «почему именно щенок»? Это ведь тоже бесконечный регресс.
А что если однажды щенок всё-таки окажется в номере 1, пройдя обратным путём через все номера? Это событие не является логически невозможным: этому просто не будет объяснения. В физике такое «нигде», откуда возвратился бы щенок, называется «голой сингулярностью». Голые сингулярности встречаются в некоторых спекулятивных теориях в физике, но эти теории заслуженно подвергаются критике за то, что не позволяют ничего предсказать. Как сказал однажды Хокинг, «из [голой сингулярности] могли бы появляться и телевизоры». Всё было бы иначе, будь у нас закон природы, определяющий то, что возникает, ведь в этом случае не было бы бесконечного регресса, а сингулярность не была бы «голой». Большой взрыв мог быть сингулярностью такого относительно благоприятного типа.
Я сказал, что номера в отеле идентичны, но на самом деле есть одно отличие: числа на их дверях. Таким образом, с учётом типов заданий, которые время от времени поступают от администраторов, более востребованы номера с небольшими числами. Например, у того, кто остановился в номере 1, есть уникальная привилегия: ему не приходится иметь дело с чужим мусором. Переехать в этот номер — всё равно что сорвать джекпот. Переехав в номер 2, чувствуешь себя уже немного не так, но тоже хорошо. Однако у каждого постояльца на двери номера написано число, необыкновенно близкое к началу. И каждый находится в более привилегированном положении, чем практически все остальные. Заезженное обещание политиков облагодетельствовать всех вполне осуществимо в отеле «Бесконечность».
Каждый номер в отеле стоит в начале бесконечности. И этим также характеризуется неограниченный рост знаний: мы всё ещё далеки от понимания всей сути, и так будет всегда.
Таким образом, в отеле «Бесконечность» нет такого понятия, как «типичный номер комнаты». Каждый из них нетипично близок к началу нумерации. Интуитивное представление о том, что в любом множестве значений должно быть «типичное» или «среднее», для бесконечных множеств неверно. То же самое относится и к тому, что мы интуитивно считаем «редким» и «часто встречающимся». Можно заметить, например, что половина натуральных чисел — нечётна, а половина — чётна и что среди натуральных чисел чётные и нечётные таким образом встречаются одинаково часто. Но рассмотрим следующую перестановку:

Теперь кажется, что нечётные числа встречаются в два раза реже, чем чётные. Аналогичным образом можно было бы показать, что нечётные числа выпадают один раз на миллион или в любой другой пропорции. Таким образом, и интуитивное понятие доли элементов к бесконечным множествам неприменимо.
После ужасного исчезновения щенка администрация отеля «Бесконечность» решает приятно удивить своих постояльцев, чтобы они больше не переживали по этому поводу. Объявляется, что каждый получит в подарок книгу «Начало бесконечности» или мою предыдущую книгу «Структура реальности». Книги раздаются следующим образом: в каждый миллионный номер отправляется более старая книга, а более новая — во все остальные.
Предположим, вы остановились в этом отеле. И вот вам доставляют книгу, обёрнутую в непрозрачную подарочную бумагу. Вы надеетесь получить новую, потому что предыдущую уже прочитали. И вы вполне уверены, что так и будет, ведь шансы, что ваш номер — один из тех, в которые отправят старую книгу, невелики? Ровно один на миллион, как вам кажется.
И только вы собираетесь разорвать упаковку, как раздаётся объявление. Всем нужно перейти в другой номер согласно числу, указанному на карточке, которая появится вслед за книгой из специального жёлоба в стене. В объявлении также говорится, что при новом размещении все, кто получил одну конкретную книгу, попадут в нечётные номера, а те, кто получил другую, — в чётные, но не уточняется, кто в какие. И по числу на двери своего нового номера вы не можете сказать, какая книга досталась вам. Безусловно, проблем с таким переселением не возникает, ведь обе книги получило бесконечно много людей.
Приходит карточка, и вы переезжаете в другой номер. Стала ли меньше ваша уверенность относительно того, какая у вас книга? Надо полагать, нет. Если рассуждать, как раньше, сейчас ваши шансы получить «Начало бесконечности» — один из двух, потому что теперь она есть в «половине номеров». Поскольку вы пришли к противоречию, то, по-видимому, вероятность вы оценивали неправильным методом. На самом деле неправильны все методы оценки такой вероятности, потому что, как показывает этот пример, в отеле «Бесконечность» нет такого понятия, как вероятность того, что вы получили одну книгу, а не другую.
С точки зрения математики в этом нет ничего исключительного. Этот пример лишь снова демонстрирует, что такие признаки, как вероятный и невероятный, редкий или часто встречающийся, типичный или нетипичный не имеют буквально никакого значения, когда речь идёт о сравнении бесконечных множеств натуральных чисел.
Но если обратиться к физике, то это плохие новости для антропных доводов. Представьте себе бесконечное множество вселенных с одними и теми же законами физики, кроме того, что одна конкретная физическая постоянная, обозначим её D, принимает в каждой из них разное значение. (Строго говоря, нам следует представить себе несчётное бесконечное множество вселенных, по аналогии с бесконечно тонкими картами, но это только усугубит проблему, которую я собираюсь описать, так что не будем усложнять.) Предположим, что из этих вселенных у бесконечно большого числа значения D таковы, что астрофизики в них появляются, и у бесконечно большого числа значения D таковы, что они не появляются. Тогда пронумеруем вселенные так, что все те, в которых есть астрофизики, будут чётными, а те, в которых их нет, — нечётными.
Это не означает, что в половине вселенных астрофизики есть. Как и при распределении книг в отеле «Бесконечность», мы могли бы с тем же успехом пометить вселенные так, что астрофизики были бы только в каждой третьей или триллионной, или в каждой триллионной их бы не было. Таким образом, с антропным объяснением проблемы тонкой настройки что-то не так: мы можем избавиться от неё, если мы просто перенумеруем вселенные. По своему желанию мы можем пронумеровать их так, что наличие астрофизиков будет казаться правилом, исключением или чем-то промежуточным.
Теперь предположим, что мы с помощью соответствующих законов физики с разными значениями D вычисляем, появятся ли астрофизики. Оказывается, что для значений D вне диапазона от, скажем, 137 до 138, вселенных с астрофизиками очень мало, по одной на триллион. А внутри этого диапазона только в одной вселенной на триллион астрофизиков нет, а при значениях D от 137,4 до 137,6 они есть во всех. Хочу подчеркнуть, что в реальной жизни мы и близко не подошли к хорошему пониманию процесса формирования астрофизиков, чтобы вычислять такие значения, и вероятно, никогда его не поймём, как станет ясно из следующей главы. Но независимо от того, можем мы их вычислять или нет, теоретики, придерживающиеся антропного объяснения, предпочтут проинтерпретировать эти числа так: если мы измерим значения D, то вряд ли они окажутся вне диапазона от 137 до 138. Но в действительности ничего подобного они не означают! Ведь мы можем просто изменить нумерацию вселенных (перетасовать бесконечную колоду «карт»), и частоты встречаемости поменяются с точностью до наоборот или станут такими, как нам будет угодно.
Научные объяснения, вероятно, не могут зависеть от выбранного нами способа пометки сущностей, на которые ссылается теория. Поэтому антропная аргументация сама по себе не может ничего предсказать. И по этой причине, как я говорил в главе 4, она не может объяснить тонкую настройку физических констант.
Остроумный вариант антропного принципа был предложен физиком Ли Смолином[46]. Он опирается на то, что согласно некоторым теориям квантовой гравитации чёрная дыра может породить внутри себя целую новую вселенную. Смолин предполагает, что в этих новых вселенных могут быть другие законы физики и что, более того, на эти законы будут влиять условия, существующие в порождающей вселенной. В частности, разумные существа в порождающей вселенной могут сделать так, что чёрные дыры будут порождать вселенные с удобными для индивидуальных существ законами физики. Но в объяснениях такого типа (известных как «эволюционные космологии») есть одна загвоздка: а сколько вселенных было вначале? Если их было бесконечно много, то непонятно, как их подсчитывать, а из-за того, что каждая вселенная с астрофизиками породит несколько других, доля таких вселенных не увеличится заметным образом. Если не было первой или первых вселенных и весь этот ансамбль существует уже бесконечное время, то теория сталкивается с проблемой бесконечного регресса. Ведь тогда, как заметил космолог Франк Типлер[47], вся совокупность должна была «бесконечно давно» прийти в равновесное состояние, а это означало бы, что эволюции, приведшей к этому равновесию, — того самого процесса, который должен объяснить тонкую настройку, никогда не было (как щенок, который пропал в никуда). Если же изначально была только одна вселенная или конечное их число, то остаётся проблема тонкой настройки в исходной вселенной (вселенных): были ли в них астрофизики? Надо полагать, не было; но если бы исходные вселенные порождали бы огромную цепь вселенных-потомков, пока в одной из них, чисто случайно, не появились бы астрофизики, это всё равно не дало бы ответа на вопрос, почему вся система, функционирующая теперь согласно одному закону физики, в котором кажущиеся «константы» изменяются по законам природы, допускает этот в конечном счёте благоприятствующий появлению астрофизиков механизм. И такому совпадению не будет антропного объяснения.
Теория Смолина имеет рациональное зерно: она предлагает всеохватывающую систему для множества вселенных и некоторые физические связи между ними. Но объяснение связывает только «дочерние» вселенные и «порождающие» их, а этого недостаточно. Поэтому всё это не работает.
Но теперь предположим, что мы также рассказываем о реальности, которая соединяет все эти вселенные и наделяет предпочтительным физическим смыслом один из способов их маркировки. Например, так. Девочка по имени Лира, которая родилась во вселенной № 1, изобретает прибор, с помощью которого можно перемещаться в другие вселенные. Прибор также создаёт вокруг девочки маленькую защитную сферу, обеспечивающую её жизнь в тех вселенных, где по законам физики жизнь не возможна. Удерживая определённую кнопку, Лира перемещается из одной вселенной в другую, в фиксированном порядке, с интервалом ровно в одну минуту. Как только она отпускает кнопку, то сразу попадает домой, в свою вселенную. Обозначим вселенные числами 1, 2, 3 и так далее в порядке их посещения.
Иногда Лира берёт с собой устройство для измерения константы D и ещё одно, чтобы, как в проекте поиска инопланетян SETI, только быстрее и надёжнее, вычислять, есть ли во вселенной астрофизики. Лира надеется проверить предсказания антропного принципа.
Она может посетить только конечное число вселенных, и у неё нет возможности судить о том, являются ли они репрезентативной выборкой из всего бесконечного множества. Но у устройства есть второй режим. При нём прибор переносит Лиру во вселенную № 2 за минуту, затем во вселенную № 3 за полминуты, во вселенную № 4 за четверть минуты и так далее. Если она не отпустит кнопку к моменту истечения двух минут, то посетит все вселенные в бесконечном множестве, то есть в рамках этого повествования все существующие. После этого прибор автоматически возвращает Лиру во вселенную № 1. Если она снова нажмёт кнопку, то путешествие начнётся снова со вселенной № 2.
Большая часть вселенных мелькает перед глазами Лиры так быстро, что она их даже не замечает. Но измерительные устройства, которые она взяла с собой, не подвержены ограничениям, свойственным человеческим органам чувств, и не подчиняются нашим законам физики. Если их включить, они покажут скользящее среднее значений из всех посещённых вселенных, независимо от того, сколько времени они находились в каждой из них. Так, например, если в чётных вселенных астрофизики есть, а в нечётных их нет, то в конце двухминутного путешествия через все вселенные устройство типа SETI покажет значение 0,5. Таким образом, в этой мультивселенной имеет смысл говорить, что астрофизики есть в половине вселенных.
Если с таким прибором побывать в тех же самых вселенных, но в другом порядке, то это значение будет другим. Но допустим, что по законам физики вселенные можно посещать только в одном порядке (вроде того, как по нашим законам физики мы, как правило, можем находиться в разных моментах времени лишь в одном, определённом порядке). Поскольку теперь у измерительных устройств остаётся только один способ реагирования на средние, типичные значения и так далее, то в этих вселенных разумный индивид, рассуждая о вероятностях и о том, насколько редко или часто встречается то или иное явление, типичное оно или нетипичное, разрежённое или плотное, тонко настроено или нет, всегда получит непротиворечивые результаты. И поэтому теперь с помощью антропного принципа можно делать проверяемые на опыте вероятностные прогнозы.
Это стало возможным за счёт того, что бесконечное множество вселенных с различными значениями D — уже не просто множество. Это единая физическая сущность, мультивселенная[48] с внутренними взаимодействиями (с которыми удалось справиться прибору Лиры), связывающими различные её части между собой и тем самым придающими уникальный смысл, называемый мерой, пропорциям и средним, взятым по разным вселенным.
Ни одна из основанных на антропном принципе теорий, которые были предложены для решения задачи тонкой настройки, такой меры не даёт. Многие недалеко уходят от рассуждений вроде «А что, если бы существовали вселенные с другими константами?». Но есть в физике одна теория, которая уже описывает мультивселенную исходя из независимых соображений. Во всех её вселенных одни и те же физические константы, а взаимодействия этих вселенных не подразумевают путешествия из одной в другую или измерений одной из другой. Наконец, эта теория даёт меру для вселенных. Это квантовая теория, о которой речь пойдёт в главе 11.

Определение бесконечности с использованием взаимно однозначного соответствия между множеством и его частью принадлежит Кантору. Оно лишь косвенно связано с неформальным, интуитивным восприятием бесконечности нематематиками как до этого, так и впоследствии, а именно, что «бесконечный» означает нечто вроде «больше, чем любая конечная комбинация конечных сущностей». Но с таким неформальным понятием, не имея какой-либо независимой идеи о том, что делает сущность конечной, и благодаря чему отдельная операция «комбинирования» является конечной, можно зациклиться. На интуитивном уровне ответ будет антропоцентрическим: нечто определённо конечно, если его в принципе можно охватить человеческим опытом. Но что это значит, «испытать что-то на опыте»? Испытывал ли Кантор бесконечность на опыте, когда доказывал теоремы о ней? Или его опыт ограничивался лишь символами? Но мы только и делаем, что работаем с символами.
Этого антропоцентризма можно избежать, обратившись к измерительным приборам: если величину в принципе может зарегистрировать какой-либо измерительный прибор, она уж точно ни бесконечна большая, ни бесконечно малая. Однако согласно этому определению величина может быть конечной, даже если лежащее в её основе объяснение ссылается на бесконечное множество в математическом смысле. Показывая результат измерения, стрелка на счётчике может передвинуться на сантиметр, что является конечным расстоянием, но оно состоит из несчётного бесконечного множества точек. Такое возможно, потому что, хотя точки и входят в объяснения самого низкого уровня, число точек в предсказаниях никак не упоминается. Физика оперирует расстояниями, а не числом точек. Аналогично, Ньютон и Лейбниц могли с помощью бесконечно малых расстояний объяснять такие физические величины, как мгновенная скорость, хотя, например, в непрерывном движении пули нет ничего физически бесконечно малого или большого.
Когда администраторы отеля «Бесконечность» делают конечное публичное объявление, для них это конечная операция, хотя в результате в отеле происходят преобразования, охватывающие бесконечное число событий. С другой стороны, большинство логически возможных трансформаций могли быть достигнуты только путём бесконечного числа таких объявлений, чего законы физики в том мире не позволяют. Не забывайте, что в отеле «Бесконечность» никто — ни персонал, ни постояльцы — никогда не производит больше, чем конечное число действий. Аналогичным образом в мультивселенной Лиры измерительный прибор за конечное двухминутное путешествие может вычислить среднее от бесконечного числа значений. Таким образом, в том мире это физически конечная операция. Но чтобы найти «среднее» того же бесконечного множества в другом порядке, потребовалось бы бесконечное число таких путешествий, что было бы невозможно по соответствующим законам физики.
Лишь законы физики определяют, что в природе является конечным. Те, кому не удавалось это понять, часто оказывались в замешательстве. Среди ранних примеров — парадоксы Зенона Элейского, например, о черепахе и Ахиллесе. Зенон заключил, что Ахиллес никогда не обгонит черепаху, если у неё будет преимущество на старте, потому что к тому времени, как Ахиллес доберётся до точки, откуда стартовала черепаха, она уже уйдёт немного вперёд. А когда он достигнет этой новой точки, она уйдёт ещё немного вперёд и так далее до бесконечности. Таким образом, чтобы «догнать» черепаху, Ахиллесу нужно совершить бесконечное число таких шагов за конечное время, что, будучи существом конечным, он, предположительно, сделать не может.
Понимаете, что сделал Зенон? Он просто предположил, что математическое понятие, которое, принято называть «бесконечностью», верно отражает различие между конечным и бесконечным, существенное для описанной физической ситуации. Это просто-напросто неверно. Если он сетует на то, что математическое понятие бесконечности не имеет смысла, мы можем отослать его к Кантору, который показал обратное. Если его не устраивает, что физическое событие, заключающееся в том, что Ахиллес обгонит черепаху, не имеет смысла, он утверждает, что законы физики противоречивы, но это не так. Но если он говорит, что в движении есть что-то противоречивое, потому что невозможно почувствовать каждую точку непрерывного пути, то он просто путает два различных понятия, каждое из которых называют «бесконечностью». Во всех его парадоксах ошибка именно в этом.
Что Ахиллес может сделать, а чего нет, невозможно вывести из математики. Это зависит только от того, что говорят соответствующие законы физики. Если согласно этим законам он обгонит черепаху за заданное время, значит, так оно и будет. Если для этого придётся сделать бесконечное число шагов вида «перейди в определённое положение», то столько их и будет сделано. Если Ахиллесу для этого придётся пройти через несчётное бесконечное число точек, то он пройдёт через них. Но с физической точки зрения не произойдёт ничего бесконечного.
Таким образом, законы физики определяют различие не только между редким и часто встречающимся, вероятным и невероятным, тонко настроенным и нет, но даже между конечным и бесконечным. Подобно тому, как в одном и том же множестве вселенных может быть много астрофизиков, если вести измерения согласно одному набору законов физики, и их там может практически не быть при измерениях по другим законам, одна и та же последовательность событий может быть конечной или бесконечной в зависимости от законов физики.
Ошибку Зенона повторяли и в случае с другими математическими абстракциями. В общих чертах, она заключается в том, что абстрактный признак путают с одноимённым физическим. Поскольку можно доказать теоремы о математическом признаке, которые имеют статус абсолютно необходимых истин, можно ошибочно предположить наличие априорного знания о том, что законы физики должны говорить о соответствующем физическом признаке.
Другой пример — из геометрии. На протяжении веков не проводилось чёткой границы между её статусом как математической системы и физической теории, и вначале это не сильно мешало, потому что остальные науки значительно уступали геометрии в сложности, а теория Евклида была отличным приближением для всех возможных целей того времени. Но затем философ Иммануил Кант (1724–1804), который прекрасно знал о разнице между абсолютно необходимыми истинами математики и случайными истинами науки, тем не менее заключил, что законы геометрии Евклида самоочевидно истинны в природе. А значит, он считал, что нет разумных поводов для сомнений в том, что сумма углов реального треугольника составляет 180 градусов. И таким способом он довёл это ранее безобидное заблуждение до центрального недостатка своей философии, а именно учения о том, что определённые истины о физическом мире могут быть «известны априори», другими словами, без вмешательства науки. И, конечно же, в довершение всего под «известны» он, к сожалению, имел в виду «обоснованы».
Но ещё до того, как Кант заявил о невозможности поставить под сомнение евклидовость геометрии реального пространства, математики уже начали подозревать, что это не так. Вскоре после этого математик и физик Карл Фридрих Гаусс даже занялся измерением углов большого треугольника, но не нашёл никаких отклонений от предсказаний Евклида. В итоге эйнштейнова теория искривлённого пространства и времени, которая противоречила евклидовой, была проверена путём экспериментов более точных, чем гауссовы. Оказалось, что в пространстве рядом с Землёй углы большого треугольника в сумме могут давать 180,0000002 градуса — это отклонение от евклидовой геометрии сегодня приходится учитывать, например, в спутниковых навигационных системах. В других случаях, например вблизи чёрных дыр, различия между евклидовой и эйнштейновой геометриями настолько велики, что их уже нельзя охарактеризовать термином «отклонение».
Ещё один пример той же ошибки относится к области информатики. Изначально Тьюринг закладывал основы вычислительной теории не для того, чтобы построить компьютер, а чтобы изучать природу математического доказательства. В 1900 году Гильберт поставил математикам задачу — сформулировать строгую теорию о том, чем является доказательство, и одним из условий было то, что доказательства должны быть конечными: в них должен использоваться только фиксированный и конечный набор правил вывода; они должны начинаться с конечного числа конечно выраженных аксиом и содержать лишь конечное число элементарных шагов, причём сами шаги должны быть конечными. Вычисления, как они понимаются в рамках теории Тьюринга, по сути то же самое, что доказательства: каждое корректное доказательство можно преобразовать в вычисление, которое получает вывод, начиная с исходных допущений, а каждое правильно выполненное вычисление доказывает, что выходные данные — это результат выполнения заданных операций над входными данными.
Теперь вычисление может восприниматься и как вычисление функции, которая берёт произвольное натуральное число и выдаёт результат, который определённым образом зависит от исходного числа. Так, например, удвоение числа — это функция. Чтобы попросить постояльцев перейти в другой номер, администрация отеля «Бесконечность», вообще говоря, задаёт функцию и просит постояльцев выполнить её с разными исходными данными (число на двери номера). Один из выводов, к которому пришёл Тьюринг, заключался в том, что практически все математические функции, которые логически могут существовать, нельзя вычислить никакой программой. Они «невычислимы» по той же причине, по которой большую часть логически возможных перераспределений номеров в отеле «Бесконечность» невозможно воплотить в жизнь какими бы то ни было инструкциями со стороны администраторов: множество всех функций — несчётно бесконечно, а множество программ — лишь счётно бесконечно. (Поэтому имеет смысл говорить, что «почти все» элементы бесконечного множества всех функций имеют определённое свойство.) Это также означает, как выяснил математик Курт Гёдель, по-другому подойдя к задаче Гильберта, что практически все математические истины не имеют доказательства. Это недоказуемые истины.
Также из этого следует, что практически все математические высказывания неразрешимы: ни для их истинности, ни для их ложности доказательства нет. Каждое из них либо верно, либо ложно, но с помощью физических объектов, таких как мозг или компьютер, никак невозможно выяснить, что есть что. Законы физики открывают нам только узкую щель, через которую мы можем заглянуть в мир абстракций.
Все неразрешимые высказывания прямо или косвенно относятся к бесконечным множествам. Противники бесконечности в математике объясняют это тем, что такие высказывания бессмысленны. Но для меня это мощный аргумент в пользу объективного существования абстракций, наряду с аргументом Хофштадтера о числе 641. Ведь это говорит о том, что истинностное значение неразрешимого высказывания, безусловно, не является просто удобным способом описания поведения некоторого физического объекта, например, компьютера или набора домино.
Интересно, что лишь об очень немногих вопросах известно, что они неразрешимы, хотя на самом деле таковыми является большинство, и к этому я ещё вернусь. Но существует много недоказанных математических предположений, и некоторые из них вполне могут оказаться неразрешимыми. Возьмём, например, вопрос о простых числах-близнецах. Простые числа-близнецы — это пара простых чисел, отличающихся на 2, например, 5 и 7. Гипотеза состоит в том, что наибольшей такой пары не существует: их бесконечно много. Предположим в целях текущих рассуждений, что в рамках нашей физики эта гипотеза неразрешима, но разрешима согласно многим другим законам физики. Примером могут служить законы отеля «Бесконечность». То, как конкретно администраторы отеля будут решать вопрос о простых числах-близнецах, для моего повествования неважно, но я опишу этот процесс ради читателей с математическим мышлением. Объявление будет следующим:
Первое. На протяжении следующей минуты, пожалуйста, проверьте, являются ли число на двери вашего номера и число на два больше простыми.
Далее. Если являются, то сообщите через предыдущие по порядку номера, что вы нашли простые числа-близнецы. Для быстрой отправки сообщений воспользуйтесь обычным методом (одна минута на первый шаг, а затем на каждый шаг отводится в два раза меньше времени, чем на предыдущий). Сохраните сообщение в комнате с наименьшим номером из тех, в которых ещё нет такой записи.
Далее. Сверьтесь с номером, следующим по порядку за вашим. Если у этого постояльца нет такой записи, а у вас есть, то сообщите в номер 1, что наибольшая пара простых чисел-близнецов существует.
Через пять минут администраторы будут знать, верна ли гипотеза о простых числах-близнецах.
Так что с математической точки зрения в неразрешимых вопросах, невычислимых функциях, недоказуемых теоремах нет ничего особенного. Они различаются только с точки зрения физики. Из разных физических законов будут вытекать разные бесконечные и разные вычислимые понятия, и разные истины, как математические, так и научные, окажутся при них познаваемыми. Лишь законы физики определяют, какие абстрактные сущности и отношения моделируются с помощью физических объектов, вроде мозга математика, компьютеров и листов бумаги.
Когда Гильберт сформулировал свои проблемы, некоторые математики задумывались над тем, существенна ли для доказательства конечность (с математической точки зрения). Ведь, в конце концов, математически бесконечность имеет смысл, так почему бы не быть бесконечным доказательствам? Гильберт, хотя и яро выступал в защиту теории Кантора, считал эту идею смехотворной. И таким образом и он, и его критики ошибались, как ошибался Зенон: все они предполагали, что некоторый класс абстрактных сущностей может что-то доказывать и что с помощью математических рассуждений можно определить, что это за класс.
Но если бы законы физики на самом деле были не такими, какими мы их сейчас считаем, то это могло бы сказаться и на множестве математических истин, которые мы тогда смогли бы доказать, и на операциях, доступных для использования в доказательстве. Законы физики в том виде, в котором они нам известны, придают особый статус таким операциям, как не, и и или, проводимым над отдельными битами информации (двоичными знаками или логическими значениями истина/ложь). Поэтому эти операции кажутся нам естественными, элементарными и конечными, так же, как и биты. При таких законах физики, как, скажем, в отеле «Бесконечность», существовали бы дополнительные привилегированные операции, действующие над бесконечными множествами битов. При каких-нибудь ещё законах физики операции не, и и или были бы невычислимы, а некоторые из наших невычислимых функций казались бы естественными, элементарными и конечными.
Это подводит меня к ещё одному противопоставлению, которое зависит от законов физики: простое и сложное. Мозг — это физический объект. Мысли — это вычисления таких типов, которые допускаются законами физики. Некоторые объяснения схватываются легко и быстро, как, например: «Если Сократ был мужчиной и Платон был мужчиной, то они оба были мужчинами». Оно простое, потому что выражено коротким предложением и опирается на свойства элементарной операции (а именно и). Есть объяснения, суть которых принципиально трудно ухватить, потому что даже в самой короткой своей форме они длинные и зависят от множества таких операций. Но будет ли объяснение длинным или коротким, потребуется ли для его составления много или мало элементарных операций — всё это полностью определяется законами физики, при которых оно формулируется и понимается.
Оказывается, в квантовых вычислениях, которые сегодня считаются полностью универсальной формой вычислений, точно такой же набор вычислимых функций, что и в классических вычислениях Тьюринга. Но квантовые вычисления находят лазейку в классическом понятии «простой» или «элементарной» операции. За счёт этого упрощаются некоторые интуитивно очень сложные вещи. Более того, понятие кубита (квантового бита), элементарного носителя информации в квантовых вычислениях, довольно трудно объяснить без использования квантовой терминологии. Зато бит представляется весьма сложным объектом с точки зрения квантовой физики.
Раз так, говорят некоторые, квантовые вычисления — не «настоящие» вычисления, а просто физика и техника. Они считают, что логические возможности, связанные с экзотическими законами физики, допускающими экзотические формы вычислений, не решают вопрос о том, что же такое доказательство «на самом деле». Свои возражения они высказывают примерно так: действительно, при подходящих законах физики мы смогли бы вычислить функции, не вычислимые по Тьюрингу, но это были бы не вычисления. Мы смогли бы установить истинность или ложность неразрешимых по Тьюрингу предложений, но это «установление» не было бы доказательством, потому что тогда наше знание о том, является ли предложение истинным или ложным, всегда зависело бы от наших знаний о том, что представляют собой законы физики. Если бы однажды мы обнаружили, что на самом деле законы физики другие, нам бы, возможно, пришлось пересмотреть и само доказательство и его вывод. Поэтому оно не было бы настоящим: настоящее доказательство не зависит от физики.
И снова мы видим то же самое заблуждение (а также своего рода джастификационизм, гонящийся за авторитетами). Наше знание о том, истинно или ложно высказывание, всегда зависит от знания о том, как ведут себя физические объекты. Если бы мы изменили свой взгляд на то, что делает компьютер или мозг, — например, решили бы, что наша собственная память ошибается в том, какие шаги в доказательстве мы проверили, — то нам пришлось бы изменить своё мнение о том, доказали ли мы что-то или нет. И так же было бы в том случае, если бы мы изменили мнение о том, как согласно законам физики должен работать компьютер.
Верно математическое высказывание или нет, действительно не зависит от физики. Но его доказательство — дело только физики. Невозможно что-то абстрактно доказать, как невозможно и что-то абстрактно знать. Математическая истина — вещь абсолютно необходимая и трансцендентная, но все знания создаются в ходе физических процессов, а их объём и ограничения обусловлены законами природы. Можно определить класс абстрактных сущностей и назвать их доказательствами (или вычислениями) точно так же, как определить иные абстрактные сущности и назвать их треугольниками и заставить подчиняться законам евклидовой геометрии. Но нельзя вывести из этой «теории треугольников» некое представление о том, на какой угол вы повернётесь, если обойдёте замкнутый контур, состоящий из трёх прямых линий. Точно так же такие «доказательства» не позволят проверить истинность математических утверждений. Математическая «теория доказательств» не имеет отношения к тому, какие истины можно, а какие нельзя доказать или знать в реальности; аналогично, теория абстрактных «вычислений» не имеет отношения к тому, что можно, а что нельзя в реальности вычислить.
Таким образом, вычисление или доказательство — это физический процесс, в котором такие объекты, как компьютер или мозг, физически моделируют или воплощают абстрактные сущности, как, например, числа или уравнения, и имитируют их свойства. Это наше окно в мир абстрактного. И оно действует, потому что мы используем такие сущности лишь при наличии разумных объяснений, говорящих, что абстрактные свойства действительно воплощаются в соответствующих физических переменных применяемых объектов.
Как следствие, достоверность наших знаний о математике всегда будет проистекать из достоверности знаний о физической действительности. Корректность любого математического доказательства полностью зависит от правильности наших представлений относительно законов, определяющих поведение некоторых физических объектов, таких как компьютеры, чернила и бумага или мозг. Таким образом, в противовес тому, что считал Гильберт, и тому, во что со времён античности верили и верят до сих пор почти все математики, теория доказательств никогда не станет направлением математики. Теория доказательств — это естественная наука, а конкретно информатика[49].
Вся мотивация поисков идеально надёжного фундамента для математики была ошибочной. Это был своего рода джастификационизм. Математика характеризуется тем как в ней используются доказательства, равно как естественная наука — тем, как в ней используется экспериментальная проверка; но в обоих случаях ни то, ни другое не является целью исследования. Цель математики — понять, то есть объяснить, абстрактные сущности. Доказательство — это главным образом средство для исключения ложных объяснений, а иногда оно также обнаруживает математические истины, требующие объяснения. Но, как и все области, в которых возможен прогресс, математика ищет не случайные истины, а разумные объяснения.
Итак, вот три тесно связанных между собой подхода, в рамках которых законы физики кажутся тонко настроенными: все они могут быть выражены через единый, конечный набор элементарных операций; они единым образом проводят различие между конечными и бесконечными операциями; все их предсказания могут быть вычислены одним физическим объектом, а именно универсальным классическим компьютером (хотя для эффективного моделирования физических процессов, вообще говоря, требуется квантовый компьютер). А всё потому, что законы физики поддерживают вычислительную универсальность, заключающуюся в том, что человеческий мозг может предсказывать и объяснять поведение очень далёких от человека объектов, вроде квазаров. И та же самая универсальность позволяет таким математикам, как Гильберт, выстраивать интуитивную основу доказательства и ошибочно полагать, что оно не зависит от физики. Но этой независимости нет: это скорее универсальность в рамках той физики, которая управляет нашим миром. Если бы физика квазаров была похожа на физику отеля «Бесконечность» и зависела от функций, которые мы называем невычислимыми, то мы не смогли бы что-либо предсказать о них (если бы только не смогли построить компьютеры из квазаров или других объектов, опирающихся на соответствующие законы физики). При немного более экзотических, чем эти, законах физики мы бы не смогли ничего объяснить, а значит, не могли бы существовать.
Таким образом, нечто особенное — похоже, бесконечно особенное — содержится в законах физики, какими мы их находим, делающее их исключительно благоприятными для вычислений, предсказаний и объяснений. Физик Юджин Вигнер[50] называл это «непостижимой эффективностью математики в естественных науках». По приведённым мною причинам этого не объяснить одними только антропными рассуждениями. Нужно что-то ещё.
Эта проблема, похоже, просто притягивает к себе неразумные объяснения. Так же, как религиозные люди считают, как правило, что непостижимая эффективность математики в науке — заслуга Провидения, некоторые эволюционисты усматривают в ней знак эволюции, а некоторые космологи — результат антропного отбора, а некоторые учёные, занимающиеся информатикой, и программисты видят в небе огромный компьютер. Например, одна из версий этой идеи состоит в том, что всё, обычно воспринимаемое нами как действительность, — это просто виртуальная реальность: программа, запущенная на гигантском компьютере, «Великом симуляторе». На первый взгляд кажется, что это перспективный подход к объяснению связей между физикой и вычислениями: возможно, причина выразимости законов физики в компьютерных программах состоит в том, что они и есть компьютерные программы. Быть может, существование вычислительной универсальности в нашем мире — это частный случай способности компьютеров (в данном случае «Великого симулятора») эмулировать другие компьютеры и так далее.
Но такое объяснение — это химера. Это бесконечный регресс. Ведь оно ведёт к отказу от объяснений в науке. В самой природе вычислительной универсальности заложено, что, если мы и наш мир состояли бы из программного обеспечения, у нас не было бы возможности понять настоящую физику — физику, на основе которой построен «Великий симулятор».
Другой способ поставить вычисления в центр физики и справиться с неоднозначностями антропных рассуждений — это представить, что все возможные компьютерные программы уже запущены. То, что мы воспринимаем как реальность, на самом деле виртуальная реальность, созданная одной или несколькими такими программами. Затем мы определим понятия «обычный» и «необычный» в терминах среднего по всем этим программам, считая их в порядке их длины (количества элементарных операций в каждой из них). Но здесь снова подразумевается, что есть предпочтительное представление о том, что такое «элементарная операция». Поскольку длина и сложность программы полностью зависят от законов физики, эта теория снова требует внешнего мира, в котором работают эти компьютеры, — мира, который был бы для нас непостижимым.
Оба эти подхода терпят неудачу, потому что они пытаются обратить направление реальной объяснительной связи между физикой и вычислениями. Они кажутся возможными лишь потому, что опираются на стандартную ошибку Зенона, но применительно к вычислениям: заблуждение о том, что множество классически вычислимых функций имеет в математике априорно привилегированный статус. Но это не так. Единственное, что как-то выделяет данное множество операций, — это то, что они воплощаются законами физики. Вся суть универсальности теряется, если представить, что вычисления каким-то образом предшествовали физическому миру и создавали его законы. Вычислительная универсальность относится только к компьютерам внутри нашего физического мира, которые связаны друг с другом по универсальным законам физики, к которым мы (таким образом) имеем доступ.

Но как все эти сильные ограничения на то, что мы можем знать и что может быть достигнуто с помощью математики и вычислений, включая существование в математике неразрешимых вопросов, уживаются с принципом, гласящим, что проблемы можно решить?
Проблемы — это конфликты идей. Большая часть математических вопросов, которые существуют абстрактно, никогда не появляются в качестве предмета такого конфликта: они никогда не бывают предметом любопытства или центром конфликтующих заблуждений о какой-либо черте мира абстракций. Одним словом, большинство их них просто неинтересны.
Кроме того, напомню, что поиск доказательств не есть цель математики, это просто один из её методов. Цель её в том, чтобы понять, а общий метод, как и во всех областях, — составлять гипотезы и критиковать их, исходя из того, насколько разумны они в качестве объяснений. Нельзя понять математическое утверждение, просто доказав, что оно истинно. Вот почему существуют лекции по математике, а не просто списки доказательств. И наоборот, отсутствие доказательства не обязательно означает, что утверждение нельзя понять. Напротив, обычно математик сначала понимает что-то в рассматриваемой абстракции, затем на основе этого понимания выдвигает предположение, как можно было бы доказать истинные утверждения о ней, и лишь потом их доказывает.
Можно доказать математическую теорему, но она так и не вызовет ни у кого интереса. А недоказанная математическая гипотеза может оказаться весьма плодоносной, порождая множество объяснений, даже если она столетиями будет оставаться недоказанной или даже если её вообще нельзя доказать. Примером такой гипотезы может служить проблема, известная в информатике как «P ≠ NP». Грубо говоря, она заключается в том, что существуют классы математических вопросов, ответы на которые, будь они откуда-то получены, можно эффективно проверить с помощью универсального (классического) компьютера, но нельзя эффективным образом вычислить. (У «эффективных» вычислений есть техническое определение, которое примерно соответствует тому, что мы имеем в виду под этой фразой на практике.) Практически все исследователи, работающие в области вычислительной теории, убеждены в том, что это предположение верно (что ещё раз опровергает идею о том, что математические знания состоят только из доказательств). Хотя его доказательство и неизвестно, существуют достаточно разумные объяснения того, почему следует ожидать, что это утверждение истинно, а объяснений в пользу противоположного исхода нет. (И поэтому считается, что то же самое верно и для квантовых компьютеров.)
Более того, на этой гипотезе строится огромное количество математических знаний одновременно и полезных, и интересных. Сюда входят теоремы вида «если гипотеза верна, то из неё следует вот такой интересный факт». Теорем о том, что было бы, будь гипотеза неверна, меньше, но они тоже представляют интерес.
Математик, изучающий неразрешимую задачу, может доказать, что она неразрешима (и объяснить почему). С точки зрения математика, это будет успех. Хотя решения математической задачи и не будет найдено, решена будет проблема, стоявшая перед математиком. Даже работать над математической задачей без достижения успеха такого рода — уже не то же самое, что потерпеть неудачу в создании знания. Каждая попытка решить математическую задачу и неудача в этом всегда приводит к теореме (и обычно также к объяснению) о том, почему этот подход к решению не срабатывает.
А значит, неразрешимость противоречит максиме о том, что проблемы можно решить, не больше, чем тот факт, что существуют истины о физическом мире, о которых мы никогда не узнаем. Я думаю, что однажды в нашем распоряжении будут технологии, которые позволят подсчитать точное число песчинок на Земле, но я сомневаюсь, что мы когда-нибудь узнаем, сколько точно их было во времена Архимеда. В самом деле, я уже говорил о более сильных ограничениях на то, что мы можем узнать и чего можем достичь. Есть прямые ограничения, наложенные универсальными законами физики: нельзя превысить скорость света и так далее. Есть ограничения эпистемологии: мы можем создавать знания только путём подверженного ошибкам метода выдвижения гипотез и их критики; ошибки неизбежны, и только процессы, допускающие исправление ошибок, приведут к успеху или смогут длиться долго. Ничто из этого не противоречит упомянутой максиме, потому что ни одно из этих ограничений вовсе не обязано приводить к неразрешимому конфликту объяснений.
Таким образом, я предполагаю, что в математике, так же как в науке и в философии, если вопрос представляет интерес, то проблему можно решить. Согласно фаллибилизму мы можем заблуждаться относительно того, что интересно. Поэтому из данной гипотезы вытекают три следствия. Первое заключается в том, что принципиально неразрешимые задачи также принципиально неинтересны. Второе — в том, что в конечном счёте различие между интересным и скучным — это не вопрос субъективного вкуса, а объективный факт. А третье следствие говорит, что интересная проблема, состоящая в том, почему любая интересная проблема разрешима, и сама разрешима. На настоящий момент мы не знаем, почему кажется, что законы физики тонко настроены; мы не знаем, почему существуют различные формы универсальности (хотя нам известно о многих связях между ними); мы не знаем, почему устройство мира поддаётся объяснению. Но в конце концов мы всё это узнаем. И когда это случится, то останется ещё бесконечно много явлений, требующих объяснения.
Самое важное из всех ограничений на создание знаний — это то, что мы не пророки: мы не можем предсказывать содержание и последствия идей, которые ещё только предстоит создать. Это ограничение не только согласуется с безграничным ростом знаний, но и следует из него, как я объясню в следующей главе.
То, что проблемы разрешимы, не означает, что мы уже знаем их решения или можем сформировать, когда они потребуются. Это было бы сродни креационизму. Биолог Питер Медавар[51] описывал науку как «искусство разрешимого», но то же самое применимо и ко всем формам знания. Творческое мышление любого типа включают в себя оценку того, какие подходы могут сработать, а какие нет. Заинтересоваться определённой задачей или подзадачей или потерять к ней интерес — часть творческого процесса, которая сама по себе составляет процесс решения проблем. Таким образом, «разрешимость проблем» не зависит от того, можно ли ответить на любой заданный вопрос вообще или может ли на него ответить конкретный мыслитель в конкретный день. Но если бы когда-нибудь прогресс зависел от необходимости нарушить закон физики, максима «проблемы можно решить» оказалась бы ложной.